<<
>>

Операции с именами

Булевы операции

Отношения между именами создают основу для логических операций с ними. Результат операций – новые имена. Операции, к описанию которых мы приступаем, называются булевыми операциями – по имени английского ученого Дж.Буля (1815-1864), одного из основоположников математической логики.

Булевы операции – это операции с объемами имен. К важнейшим из них относятся сложение, умножение и дополнение.

Сложение объемов A и В – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся хотя бы к одному из объемов А и В.

Результат операции сложения называется логической суммой и обозначается выражением АÈВ. Эту, как и прочие операции, рассмотрим на одном и том же конкретном примере объемов с иллюстрацией на круговых схемах (рис.

8-10). Результаты операций отмечены штриховкой.

Пусть речь идет о тыквах, и совокупность всех тыкв – универсум Т (от лат. Totum – целое). По каким-то соображениям выделены: а) тыквы весом не меньше 3 и не больше 5 кг, что соответствует объему A на круговых схемах; б) тыквы весом не меньше 4 и не больше 6 кг, что соответствует объему В на круговых схемах. Тогда логическую сумму объемов этих тыкв составят тыквы весом от 3 до 6 кг (рис. 8).

Умножение объемов A и В – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся как к объему A, так и к объему В.

Результат называется логическим произведением и обозначается выражением AÇВ.

В нашем случае логическое произведение объемов A и В – это тыквы от 4 до 5 кг (рис. 9).

Исключение объема B из объема A – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов объема A и не состоящий из объема B. Результат этой операции называется логической разностью и обозначается выражением A-B.

Наконец, дополнение объема A – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов универсума Т, не относящихся к объему A. Результат этой операции называется логическим дополнением и обозначается выражением A¢. Дополнением к тыквам весом от 3 до 5 кг будет весь универсум тыкв Т, за исключением тыкв от 3 до 5 кг (рис. 12).

Из приведенных определений видно, что существует соответствие между булевыми операциями и операциями (функторами) логики высказываний. В частности, сложению соответствует слабая дизъюнкция, умножению – конъюнкция, дополнению – отрицание.

Булевы операции подчиняются определенным законам:

AÈA=A идемпотентность сложения;
AÈВ=ВÈA коммутативность сложения;
(AÈВ)ÈC=AÈ(BÈC) ассоциативность сложения;
AÇA=A идемпотентность умножения;
AÇВ=ВÇA коммутативность умножения;
(AÇВ)ÇC=AÇ(BÇC) ассоциативность умножения;
(АÈВ)ÇC=(AÇС)È(BÇC) Дистрибутивность умножения

относительно сложения;

(AÇВ)ÈC=(AÈС)Ç(ВÈC) Дистрибутивность сложения относительно умножения.

Законы ассоциативности гласят, что в выражениях вида AÈВÈС и AÇВÇС расположение скобок не играет роли, так что их можно вообще опускать (рис.

13 и 14). Однако в таких выражениях, как (AÈВ)ÇС или AÈ(ВÇС) – расположение скобок играет существенную роль. Пусть, например, A – объем имени «мужчина», B – объем имени «женщина», С – объем имени «врач». Тогда AÈB – объем имени «человек», (AÈB)ÇС – объем имени «врач» (рис.15, горизонтальная штриховка); ВÇС – объем имени «женщина-врач», AÈ(BÇС) – объем имени, обозначающего всех людей, за исключением женщин, которые не являются врачами (рис. 15, вся штриховка).

(A B)¢=A¢ Ç B¢ (рис. 24) - 1-й закон де Моргана
(A Ç B)¢ = A¢ B¢ (рис. 25) - 2-й закон де Моргана

(A È B)¢=A¢ Ç B¢ (рис. 24);

(A Ç B)¢ = A¢ È B¢ (рис. 25).

<< | >>
Источник: Берков В.Ф.. Логика: Курс лекций.2005. 2005

Еще по теме Операции с именами:

  1. Операции с именами (продолжение). Деление
  2. Операции с именами (окончание). Определение (дефиниция)
  3. Отношения между именами
  4. У меня была операция по исправлению близорукости. На левом глазу было минус 15, на правом – 18. После операции на левом стало минус 4, а второй не видит. ♥ Могу ли я обратиться в суд с требованием о возмещении мне вреда?
  5. Аудит кассовых операций
  6. Трастовые операции
  7. Налогообложение операций с ценными бумагами
  8. Товарообменные операции
  9. 1. Виды активных операций.
  10. 11.2. Кассовые операции кредитных организаций
  11. 5.5. Операции, совершаемые по банковскому счету
  12. Виды операций по содействию платежам.
  13. Этапы построения операций.
  14. Этапы построения операций.
  15. Инвестиционные операции
  16. Конкретные операции.