Операции с именами
Отношения между именами создают основу для логических операций с ними. Результат операций – новые имена. Операции, к описанию которых мы приступаем, называются булевыми операциями – по имени английского ученого Дж.Буля (1815-1864), одного из основоположников математической логики.
Булевы операции – это операции с объемами имен. К важнейшим из них относятся сложение, умножение и дополнение.
Сложение объемов A и В – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся хотя бы к одному из объемов А и В.
Результат операции сложения называется логической суммой и обозначается выражением АÈВ. Эту, как и прочие операции, рассмотрим на одном и том же конкретном примере объемов с иллюстрацией на круговых схемах (рис.
8-10). Результаты операций отмечены штриховкой.
Пусть речь идет о тыквах, и совокупность всех тыкв – универсум Т (от лат. Totum – целое). По каким-то соображениям выделены: а) тыквы весом не меньше 3 и не больше 5 кг, что соответствует объему A на круговых схемах; б) тыквы весом не меньше 4 и не больше 6 кг, что соответствует объему В на круговых схемах. Тогда логическую сумму объемов этих тыкв составят тыквы весом от 3 до 6 кг (рис. 8).
Умножение объемов A и В – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся как к объему A, так и к объему В.
Результат называется логическим произведением и обозначается выражением AÇВ.В нашем случае логическое произведение объемов A и В – это тыквы от 4 до 5 кг (рис. 9).
Исключение объема B из объема A – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов объема A и не состоящий из объема B. Результат этой операции называется логической разностью и обозначается выражением A-B.
Наконец, дополнение объема A – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов универсума Т, не относящихся к объему A. Результат этой операции называется логическим дополнением и обозначается выражением A¢. Дополнением к тыквам весом от 3 до 5 кг будет весь универсум тыкв Т, за исключением тыкв от 3 до 5 кг (рис. 12).
Из приведенных определений видно, что существует соответствие между булевыми операциями и операциями (функторами) логики высказываний. В частности, сложению соответствует слабая дизъюнкция, умножению – конъюнкция, дополнению – отрицание.
Булевы операции подчиняются определенным законам:
AÈA=A | идемпотентность сложения; |
AÈВ=ВÈA | коммутативность сложения; |
(AÈВ)ÈC=AÈ(BÈC) | ассоциативность сложения; |
AÇA=A | идемпотентность умножения; |
AÇВ=ВÇA | коммутативность умножения; |
(AÇВ)ÇC=AÇ(BÇC) | ассоциативность умножения; |
(АÈВ)ÇC=(AÇС)È(BÇC) | Дистрибутивность умножения относительно сложения; |
(AÇВ)ÈC=(AÈС)Ç(ВÈC) | Дистрибутивность сложения относительно умножения. |
Законы ассоциативности гласят, что в выражениях вида AÈВÈС и AÇВÇС расположение скобок не играет роли, так что их можно вообще опускать (рис.
13 и 14). Однако в таких выражениях, как (AÈВ)ÇС или AÈ(ВÇС) – расположение скобок играет существенную роль. Пусть, например, A – объем имени «мужчина», B – объем имени «женщина», С – объем имени «врач». Тогда AÈB – объем имени «человек», (AÈB)ÇС – объем имени «врач» (рис.15, горизонтальная штриховка); ВÇС – объем имени «женщина-врач», AÈ(BÇС) – объем имени, обозначающего всех людей, за исключением женщин, которые не являются врачами (рис. 15, вся штриховка).
(A B)¢=A¢ Ç B¢ (рис. 24) | - 1-й закон де Моргана |
(A Ç B)¢ = A¢ B¢ (рис. 25) | - 2-й закон де Моргана |
(A È B)¢=A¢ Ç B¢ (рис. 24);
(A Ç B)¢ = A¢ È B¢ (рис. 25).
Еще по теме Операции с именами:
- Операции с именами (продолжение). Деление
- Операции с именами (окончание). Определение (дефиниция)
- Отношения между именами
- У меня была операция по исправлению близорукости. На левом глазу было минус 15, на правом – 18. После операции на левом стало минус 4, а второй не видит. ♥ Могу ли я обратиться в суд с требованием о возмещении мне вреда?
- Аудит кассовых операций
- Трастовые операции
- Налогообложение операций с ценными бумагами
- Товарообменные операции
- 1. Виды активных операций.
- 11.2. Кассовые операции кредитных организаций
- 5.5. Операции, совершаемые по банковскому счету
- Виды операций по содействию платежам.
- Этапы построения операций.
- Этапы построения операций.
- Инвестиционные операции
- Конкретные операции.