Двохкомпонентні космологічні моделі.

2.12.

2.13. Поряд з вище розглянутими космологічними моделями розглядаються і двохкомпонентні моделі, в яких метрична еволюція Всесвіту визначається одночасно формами матерії з різними рівняннями стану.

(2.92)

є = S_r

a* і +1

a

у випадку „фізичний вакуум+речовина” та

4

a* і+1

є = є

(2.93)

a

у випадку „фізичний вакуум+випромінювання”. Тут a* - масштабний фактор в той момент, коли густина енергії вакууму дорівнює густині речовини або випромінювання. А підставляючи (2.92) и (2.93) в (2.52), одержимо, відповідно:

^a da (2.94)

^П_ ^a 0 J I 4 , 2 2 =f=

0^ a - ka ₀ a + a * a

та

^a da (2.95)

П_ a о Ji •

4 і 2 2 4

0^a -ka₍₎a + a*

де a₀ визначається співвідношенням (2.58).

Інтеграл (2.94) може бути зведений до еліптичних інтегралів, але в загальному випадку це зведення залежить від співвідношення між величинами а0 та а1. Інтеграл (2.95) може бути обчислений, якщо перейти від параметра еволюції ц до часу t. Одержимо при цьому такий зв’язок між часом і масштабним фактором:

ct _ ^aMn(/a⁴ - ka0^а2 + a*⁴ - ka2) ⁽²-⁹⁶⁾

Використовуючи (2.94) та (2.95) і відповідні визначення, можна знайти тепер залежності від масштабного фактору значень параметра Хаббла, параметра сповільнення та інших характеристик розглядуваних моделей.

Таблиця 2.2

Модель

Величина

,вакуум+речовина”

,вакуум+випромінювання”

Параметр Хаббла Н

3/ \ 2

a* ) k і a ₀

4/ \ 2

a * \ k | a ₀

c

a ₀

c

a ₀

+1

+1

a

a

a

a

Параметр сповільне­ння q Масштабний фактор в точці перегину а_п Екстремальне значення відносної густини 0._ех В плоских моделях

^(k=⁰⁾

Масштабний фактор a(t)

Параметр Хаббла Н

Q_d/2-Q_v

а*/2

а*

4

3

_{1 -} k I ^a0

2 V a*

2k | a₀

1 -------------------------------

3V2

a*

13ct^л

a*sh¹

a*sh²

V ^2a0 у

і ct >

V ^2a0 у 13ct ^

c

^ccth

-cth

V ^2a0

V ^2a0 У

a

a

0

0

Величини J_d, J_r, і J_v - значення відносної густини енергії пилоподібної речовини, випромінювання та фізичного вакууму відповідно.

3(1 + V2)

n +--------- n*

/ 2

V У

t (n) =

12c

Особливістю розглядуваних двохкомпонентних космологічних моделей є те, що спочатку (коли густини речовини або випромінювання ще достатньо великі і значення q>0) розширення всесвіту відбувається сповільнено, а коли значення параметру сповільнення змінюється на від’ємне, всесвіт починає розширюватися прискорено. Відбувається це в точці перегину кривої a(t) при певних значеннях масштабного фактору а_п. При цьому ці моделі є завжди відкритими незалежно від знаку кривизни метрики простору-часу. Цікавою обставиною є також те, що моделі з кривизною, відмінною від 0, асимптотично наближаються до плоскої моделі не тільки тоді, коли час t прямує до 0, а і тоді, коли він необмежено зростає. Тому існує екстремальне значення відносної густини Q_ex (мінімум, менший від 1, коли k0). Ці екстремуми досягаються при значеннях масштабного фактору а=ап.

Наведемо також залежності для масштабного фактору та часу від параметру еволюції для випадку двохкомпонентної моделі - суміші випромінювання та речовини (для плоского випадку, тобто при k=0):

a(n) = a0n((1 + V2)n + n),

0'

2 ґ™ , /3\ Л

(2.97)

^a0n

де n* - значення конформного часу, при якому густини енергій випромінювання та речовини зрівнюються.

Якщо, нарешті, враховувати наявність у Всесвіті одночасно всіх чотирьох видів матерії - фізичного вакууму (V), темної небаріонної (D - dark), баріонної (В) і випромінювання (R), то інтеграл (2.52) набуде такого вигляду:

^a da (2.98)

^П = ^aV¹ I 4 3 3 4 , 2 2 ,

0^a + a_Da + a_Ba + a_R - ka_Va де a_V визначається формулою (2.58) при s₀=e_V, а величини a_D, a_B і a_R -

значення масштабного фактора в моменти, коли постійна густина енергії

s_V дорівнює змінним густинам енергій s_D, s_B та s_R відповідно.

Досліджувалися і моделі, в яких не виконується довершений космологічний принцип. Зокрема відома модель Геделя, в якій Всесвіт однорідний, але неізотропний, бо він обертається.

2.5. Космологічні тести. Після того, як розвинута певна теорія, в даному разі - теорія метричної еволюції нестаціонарного Всесвіту на підставі ЗТВ, виникає проблема порівняння наслідків цієї теорії з даними спостережень. Але тут постають відразу принаймні два питання. Перше

пов’язане з тим, що характеристик Всесвіту в сучасну епоху принципово недостатньо для перевірки теорії, бо йдеться саме про еволюцію Всесвіту в часі. Друге питання випливає з того, з якою точністю відомі ці характеристики - сучасні значення параметру Хаббла та відносної густини матерії.

Залежності величин, які більш-менш безпосередньо можуть бути визначені із спостережних даних, від аргументів, що описують еволюцію Всесвіту, мають назву космологічних тестів. Такими аргументами можуть бути космологічний або конформний час, відносна густина матерії. Але зі спостережної точки зору тут найбільш придатним аргументом є величина червоного зміщення z . А найбільш широко вживаним космологічним тестом є тест “зоряна величина - червоне зміщення”, тобто залежність m = m(z). В його основі лежить залежність (2.81) світності будь-якого об‘єкту від відстані до нього з урахуванням впливу еволюції метричних властивостей простору-часу за час розповсюдження світла або радіохвиль від цього об’єкту до спостерігача. Для одержання тесту “зоряна величина - червоне зміщення” треба продиференціювати (2.81), потім замінити логарифм світності L на абсолютну зоряну величину за відомою основною формулою зоряної астрономії. Далі треба за співвідношенням (2.8O) перейти від відносної відстані X до червоного зміщення z . Нарешті треба виключити значення нормуючого множника a_O. Щоб зробити останнє, із залежностей H(ц) та Q(n) для пилоподібного світу можна знайти, виключаючи параметр

еволюції п , що

c

^2Hc (2.99)

^aO V^Q _c ^{- 1}

де H_c та Q_c - сучасні значення цих величин. Виявляється, крім того, корисним зробити ще одну заміну. Розкладемо функцію a(t) в ряд Тейлора в околі моменту часу t_c :

^a(t) = ^a(tc ⁾ + ^a(tc ^{)(t - t}c ⁾ + 2 ^a(tc ^{)(t - t}c ⁾² + ...

Використовуючи визначення параметру Хаббла (2.63), матимемо,що

1 + H_c (t - t_c) - 2 - t_c )² +...

^a(t) _ ^a(tc⁾

(2.101)

Зробивши тепер все вище вказане, одержимо, нарешті, космологічний тест у вигляді:

^m _ ^5lg{[qc^z + ⁽q_c ^{- 1}XV¹ + ²qc^{z -1)]/}qc^2}+^M-5lg^Hc + ^5lgc ⁽².¹⁰²⁾ де m та M - видима та абсолютна болометричні зоряні величини спостережуваного об’єкту, а q^^ - параметр сповільнення в сучасну епоху. Для невеликих значень червоного зміщення (z < 0.3) формула (2.101) спрощується:

m _ 5lgz +1/086(1 - q_c)z + M - 5 lgH_c + 5 lgc , (2.103)

де параметр Хаббла повинен бути виражений в обернених секундах, а швидкість світла в парсеках в секунду. Сума останніх трьох доданків не залежить від q_cта z і впливає тільки за зсув кривої m _ m(z) вздовж осі ординат і тому не є суттєвою. В координатах (m,lg z) залежність m _ m(z) при малих зміщеннях z близька до прямої з коефіцієнтом нахилу 5, якою вона є в ньютоновому просторі, а також при параметрі сповільнення q^1. Залежності m _ m(z) для різних значень параметру q_c наведені в табл. 2.3 (про від’ємні значення q_с див. нижче).

Таблиця 2.3 Значення m(z), (без сталої, незалежної від q^

Класами об‘єктів, до яких застосовується цей тест, можуть бути цефеїди в найближчих галактиках, нові та наднові в більш виддалених галактиках, шарові скупчення, галактики певних типів, найяскравіші галактики в скупченнях та інших групах галактик і, нарешті, квазари.

Ще одним космологічним тестом може бути залежність кутового розміру об’єкта 3 певного лінійного розміру 1 від відстані до цього об’єкту. Формула (2.84) після переходу від відносної відстані x до червоного зміщення z дає у плоскому випадку:

3= Hjv + zp (2.104)

2(лД+Т -1)

Але застосування цього тесту стикається із значними спостержними труднощами. Вони пов’язані із скінченною роздільною здатністю астрономічних спостережень взагалі, впливом потемніння до краю і наявністю порогу чутливості при спостереженнях. Все ж звернемо увагу на те, що має місце мінімум функції 3( z) (при z = 5/4). Наявність такого мінімуму властива і іншим космологічним моделям. Суть цього ефекту полягає в тому, що для достатньо далеких об’єктів (з x>n) до нас швидше доходить їх зображення з їх протилежного, так би мовити, тильного боку.

, Нарешті, еволюція Всесвіту впливає на кількість джерел

випромінювання, спостережуваних на даній відстані x. Якщо функція w(tj, L) визначає кількість джерел, що випромінюють в момент t_x із світністю в межах від L до L + dL, то кількість таких джерел в тонкому сферичному шарі

dN = 4na³ (tj )n(tj, L)E² (x)dxdL. (2.105)

Переходячи спочатку від відстані x до параметру еволюції за допомогою умови розповсюдження випромінювання d/=dp (див. (2.43)), а потім до часу t₁ , матимемо кількість джерел з червоним зміщенням, меншим заданого z , і потоком випромінювання, більшим заданого F , в такому виглді:

Ш ^tc

N(< z, > F) = 4nc||a² (t₁)n(t₁, L)E²(p(t₁))dt₁dL. (2.106)

^{0 t}0

При цьому нижня межа інтегрування t₀ визначається двома обставинами. По-перше, найменше значення t₁ повинно відповідати обраному значенню z за співвідношенням (2.79):

^at^l = 1 + z. (2 .107)

a(tz)

По-друге, вона повинна забезпечувати поток випромінювання, більший від заданого значення F , яке практично визначається проникаючою силою спостережних засобів, згідно з (2.81), тобто з умови:

F = ^{La 2(tp)}--------------------------------------------------- . (2.1O8)

4na ⁴(tc )S ²(n(t_F)) ^V '

Тому нижня межа інтегрування t_O = max(t_z, t_F). Оскільки більшу проникаючу силу мають радіотелескопи, цей тест підрахунку джерел намагалися застосовувати до джерел радіовипромінювання. Але радіотелескопи вимірюють не болометричний поток випромінювання, а тільки спектральну густину потоку на певній частоті, тому треба ще перейти від потоку F до спостережуваної спектральної густини S(v), задаючися певним спектральним розподілом випромінювання P(v). Ми цього робити не будемо. Зауважимо лише, що спроби застосування цього тесту також не дали потрібних результатів. Більше того, вони не узгоджуються з припущенням, що функція розподілу n(t₁, L) X a³ (t₁), як це повинно бути, якщо світність кожного з радіоджерел не змінюється на космологічних проміжках часу, тобто якщо відсутня еволюція радіоджерел з часом.

Таким чином, ситуація в космології наприкінці ХХ ст. склалася дещо суперечлива. Фундаментальний факт нестаціонарності нашого однорідного та ізотропного світу спостереженнями (дія закону Хаббла) підтверджується. Але визначити параметри, що описують еволюцію цього світу досить надійно не вдавалося. З одного боку при аналізі фізичних процесів в ньому справа полегшуєтся, як вже відзначалося, близкістю Всесвіту до плоского в минулому. З іншого боку ця ситуація невизначеності описується подекуди введенням безрозмірного параметру Хаббла h такою умовою - розмірний параметр Хаббла H = 1OOh км/с-Мпк.

Однак на межі ХХ і ХХІ століть ситуація почала істотно змінюватися. Були виконані спеціальні програми спостережень наднових типу Іа в інших галактиках, що дало можливість застосувати тест “зоряна величина - червоне зміщення” для значень z, близьких до 1. З’явилися нові підходи до визначення параметрів космологічної моделі нашого світу за величиною флуктуацій реліктового випромінювання (див. п. 3.3.), за просторовою періодичністю в розподілі характеристик квазарів. Останній підхід заснований на тому, що відшукуються такі значення параметрів, які максимізують піки в спектрі спостережних характиристик квазарів за аргументом X - безрозмірною відстанню, яка є функцією червоного зміщення і параметрів космологічної моделі.

Головним і на першій погляд дуже несподіваним результатом застосування вказаних методів став висновок про неможливість описати нинішній етап еволюції Всесвіту фрідманівською моделлю з пілоподібною речовиною. Нові спостережні дані потребували введення двохкомпонентної моделі, в якій повна густина енергії визначається сумішшю матерії з пилоподібним рівнянням стану і матерії з вакуумним рівнянням стану. Матерія з рівнянням стану р^ включає насамперед спостережувану за її випромінюванням так звану баріонну речовину зірок, з яких складаються галактики. Певна частина такої речовини входить до складу об’єктів, які ми не можемо спостерігати (це можуть бути зокрема корони галактик з дуже низькою поверхневою яскравістю. Ця частина речовини входить до складу так званої темної матерії. Іншу, при тому більшу приблизно на порядок за енергією, частину темної матерії складають якийсь форми елементарних частинок. Є різні гіпотези про їх природу. З’ясування цієї природи - одне з актуальних питань сучасної космології.

Переходячи в двохкомпонентній моделі „фізичний вакуум+речовина” від масштабного фактору а до червоного зміщення z, можна знайти, що в цій моделі безрозмірна відстань

X = f^d + Q^{v -} 4(z), (2.1O9)

а фотометрична відстань

D = ,Q⁰ + ^z_Q -I(т/Пd +Qv - 1 • F>(z)), (2.11O)

^HW^Qd + ^Qv ^{- 1}

де функція 2 візначається формулою (2.42), а функція

^z dz

ад=J_{1 2} ^dz . (2.111)

Oy|(1 + z) (1 + Q_dz) - Q_vz(z + 2)

Час розширення Всесвіту в цій моделі дорівнює

t = ^a^^{a ada}^. (2.112)

n J 4 і 2 2 3

a_Oy a - ka_O a + a* a

Деякі результати визначення космологічних параметрів згаданими вище методами наведені в табл. 2.4. З цих результатів (не зважаючи на їх певний розкид) випливає, що в повній середній густині енергії преважає внесок енергії темної матерії. Тому розширення Всесвіту відбувається прискорено (від’ємне значення параметру сповільнення) і асимптотично за експоненціальним законом, а світ є відкритим. Вираз (2.96) дає можливість описати в часі еволюцію Всесвіту від епохи, коли ця еволюція

Таблиця 2.4

Параметри двохкомпонентної космологічної моделі

визначалася практично середньою густиною речовини до виходу на експоненціальну стадію еволюції. В табл. 2.5 це зроблене, як приклад, для плоскої моделі з Qde=0.2.

Таблиця 2.5

Видно, що 15 млрд. років тому внесок темної матерії в повну енергію був менший від 1%, а приблизно через 20 млрд. років, навпаки, внесок баріонної речовини стане менший від 1% і почнеться екпоненціальне розширення Всесвіту з часом подвоєння масштабного фактора приблизно в 10 млрд. років. Сучасне значення параметру Хаббла, близьке до 65 км/Мпк с, підтверджується кількома незалежними методами.

Певні сподівання уточнити значення параметрів космологічної моделі пов'язані із спостереженням гравітаційних лінз. Справа в тому, що ці параметри входять у вираз, що описує ефект гравітаційного лінзування квазрів галактиками та їх мікролінзування окремими зірками. При цьому, якщо відбулася зміна блиску квазара, то зміна блиску окремих зображень квазара, які утворюються при його лінзуванні, спостерігатиметься неодночасно, бо випромінювання, що формує ці зображення проходить різні оптичні шляхи. Для визначення космологічних параметрів якраз і треба визначити час затримки у зміні блиску окремих зображень квазара. Важливо, що при цьому значення цих параметрів визначається незалежно від багатоступеневої процедури визначення відстаней до позагалактичних об'єктів. Попередні результати моніторінгу гравітаційних лінз дають сучасне значення параметру Хаббла в межах його невизначеності і якісно підтверджують необхідність двохкомпонентної космологічної моделі.

Таким чином, є вагомі підстави (принаймні на середину 2003 р.) вважати, що:

1) в сучасну епоху еволюція Всесвіту визначається енергією суміші матерії з пилоподібним рівнянням стану і темної матерії з вакуумним рівнянням стану у співвідношенні приблизно 1:3 і, відповідно, Всесвіт є відкритим і розширюється прискорено (відповідно, термін “стадія речовини” треба тепер розуміти дещо умовно - в тому розумінні, що з двох спостережних фізичних форм матерії внесок речовини в середню густину енергії більше, ніж електромагнітного випромінювання, щодо темної матерії, то про її природу зараз робляться лише певні гіпотетичні припущення на підставі нових ідей фізики елементарних частинок);

2) повна відносна густина енергії Q лежить, скоріш за все, в межах від 0.7 до 1;

3) сучасне значення параметру Хаббла Н_с=(65±5) км/Мпк-с і, відповідно,

30 3

сучасне значення критичної густини уО_с=(8±2)-10‘ г/см .

Як вже згадувалося наприкінці підрозділу 2.1, розглянуті вище моделі при наявністі матерії з вакуумним рівнянням стану математично подібні моделям з так званим Л-членом, тобто розв’язкам таких рівнянь Ейнштейна:

(2.109)

1^ 8nG

^Rik ^- 2 ^Rgik _~~v ^Tik. + ^Rgik'

2 c

При цьому, як це випливає з (2.58)

Ввів Л-член, який відповідає від’ємному тиску, тобто певній силі відштовхування, як вже зазначалося, ще в 1917 р. А.Ейнштейн, щоб одержати статичне рішення для однорідного та ізотропного світу. В 1919 р. В.де-Сіттер розглянув плоску модель з Л-членом пустого (s=0) світу, тобто фактично плоску інфляційну модель. Пізніше Ж.Леметр дослідив модель з р=0 та Л/0 і додатньою кривизною (k=+1), тобто частинний випадок розглянутої вище моделі „вакуум+речовина”

Таким чином, науковий доробок А.Ейнштейна, В.де-Сіттера, Ж.Леметра з розробки космологічних моделей з Л-членом виявився доцільним, але на суттєво новій фізичній основі. Вперше зв’язав Л-член з енергією фізичного ваууму і одержав співвідношення (2.110) Е.Б.Гліннер.в 1965 р. Розробку інфляційних космологічних моделей продовжили з кінця 70-років А.А.Старобінський, А.Д.Лінде, А.Гус. При цьому треба було відповісти насамперед на два питання - як формуються початкові умови інфляційної стадії еволюції Всесвіту і як відбувається перехід до наступних стадій його розвитку. Найбільш імовірною вважається модель хаотичної інфляції Лінде [10]. Різномаїття початкових умов, пов’язаних з квантовим характером тунельного переходу (див. рис. 2.4б), що покладає початок інфляційному роздуванню міні-всесвіту, і одльна залежність потенціальної енергії V(