<<
>>

Основи загальної теорії відносності (ЗТВ).

2.3.

2.4. В нижче поданому короткому вступі до ЗТВ увага сосереджена на роз‘ясненні основ математичного апарату та фізичного змісту ЗТВ, подекуди без строгого доведення окремих положень та формул.

Загальна теорія відносності виходить з відомого і встановленого з великою точністю експериментального факту рівності інертної та гравітаційної мас будь-якого фізичного об’єкту. Загальність цього факту означає, що є глибокий зв’язок між рухом за інерцією і рухом в гравітаційному полі. Цей зв’язок знаходить свій прояв у принципі еквівалентності руху в гравітаційному полі в інерціальній системі координат і вільного руху у відповідній неінерціальній системі координат. Треба тільки зауважити, що цей принцип має локальний характер, бо гравітаційне поле зникає на нескінченності, а неінерціальність системи координат зберігається в усьому просторі.

Оскільки рух в довільному гравітаційному полі криволінійний та нерівномірний, то ми приходимо до необхідності замінити плоску

чотиривимірну різноманітність простору-часу Мінковського спеціальної теорії відносності (СТВ) на викривлену просторово-часову різноманітність.

Ця необхідність випливає з того, що, замінюючи рух в гравітаційному полі на вільний рух в неінерціальній системі відліку, не можна в скінченній частині простору ввести декартову систему координат замість

криволінійної, як це завжди можна зробити в плоскому просторі-часі. Відповідно до цього треба узагальнити відомий вираз для інтервала в СТВ

ds2 = (dx0)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2 (2.1)

на довільну квадратичну форму від диференціалів координат

ds2 = ZZ Srkdxldxk, (2.2)

i=0 k=0

де x0 = ct - часова координата, а xa(a = 1,2,3) - просторові координати.

Сукупність коефіцієнтів gik = gik (x0, x1, x2, x3) утворює фундаментальний або метричний тензор, бо цей тензор визначає метричні властивості (метрику) простору-часу. Тензор glk описує викривленість простору-часу в заданій системі координат і водночас він описує гравітаційне поле, бо в цій викривленості і проявляє себе з точки зору ЗТВ гравітація як фізичне явище.

Щоб переконатися в необхідності переходу від (2.1) до (2.2), досить розглянути найпростіший випадок неінерціальної системи відліку - систему, рухається вздовж осі х1 з прискоренням а. Неважко одержати, що в цьому випадку g00 = 1 + (at/c)2, а g01 = g10 =-at/c. Відмінність від 0 недіагональних компонет метрічного тензора g01 та g10 показує, що вже принцип еквівалентності визначає тензорний характер теорії гравітації.

Певні труднощі, особливо при першому знайомстві із ЗТВ, пов’язані з тим, що ми не можемо наочно уявити собі викривлений простір, бо всі наші просторові уявлення сформовані на підставі нашого життя в плоскому просторі. Але тут на допомогу може прийти двовимірні аналоги: площина - плоский простір, викривлена поверхня - викривлений простір. В космології, зокрема, відіграє важливу роль однорідний простір, а тому такий, що має всюди однакову кривизну - додатню, від’ємну або нульову. Двовимірним аналогом простору з постійною додатньою кривизною є звичайна сфера радіусу a, геометрія на якій має назву геометрії Рімана і з якою астрономи добре обізнані. Аналогом простору з постійною від’ємною кривизною є псевдосфера, що утворюється як поверхня обертання навколо осі X (див. Додаток, рис.2.1) кривої, яка має назву трактриси або лінії погоні. Остання назва цієї лінії пов’язана з тим, що її описує точка на гладкій площині, якщо її розмістити в точці А, а потім тягти за мотузок довжини АО=а при умові, що точка О почне рухатися рівномірно вздовж осі x. На псевдосфері реалізується неевклідова геометрія Лобачевського з уявним радіусом кривизни іа.

Важливу роль в геометрії викривленого простору має поняття геодезичної, тобто лінії, на якій довжина дуги між двома точками досягає мінімуму і яку (довжину) і можна прийняти за відстань між цими точками (узагальнення поняття прямої лінії). В двовимірному просторі Рімана - це дуга великого кола на сфері.

Основи геометрії багатовимірного простору з довільною квадратичною формою метрики були закладені в 1854 р. Б.Ріманом, який зробив це відштовхуючися від теорії поверхонь, розвинутої К.Гауссом. Кількісна міра викривленості поверхні в певній точці (її гауссова кривизна) була введена таким чином. Якщо розглянути множину перетинів поверхні всіма площинами, що проходять через нормаль до поверхні в даній точці, то серед них будуть дві криві - з наибільшим (P1), та найменшим (р2) радіусами кривизни. Тоді модуль гауссової кривизни К визначається як 1/р1р2. Знак кривизни додатній, якщо обидва екстремальних переріза лежать по один бік від дотичної площини, і від’ємний - якщо по різні, тобто якщо один переріз опуклий, а інший - увігнутий. Тепер можна говорити і про “радіус” кривизни поверхні а = 1/VK. У поверхонь постійної кривизни гауссова кривизна дорівнює K = (Z - п) / S, де Z - сума кутів трикутника, що лежить на цій поверхні, а S - його площа.

Очевидно, що гауссова кривизна площини дорівнює 0, сума кутів трикутника є п, у сфери - K=1/o2, а сума кутів сферичного трикутника завжди більша від п. У псевдосфери перетин з найбільшим радіусом кривизни - це утворююча, що проходить через дану точку, з найменшим - лежить в площині, перпендикулярній до відповідної площини симетрії.

При цьому перший переріз - увігнутий, а другий - опуклий, тому її гаусова кривизна від’ємна. Якщо пересуватися вздовж осі х, то найбіьший радіус кривизни буде зменшуватися, а найменший - збільшуватися. Причому це відбувається таким чином, що гауссова кривизна лишається незмінною. Сума кутів трикутника на псевдосфері завжди менша, від п.

Як відомо, в евклідовій геометрії твердження про суму кутів трикутника еквівалентне аксіомі про паралельні прямі (паралельні геодезичні).

Відповідно до цього на сфері взагалі нема паралельних геодезичних, тобто таких, що не перетинаються. На псевдосфері, навпаки, через точку поза даною геодезичною проходить цілий пучок геодезичних, які не перетинають дану. Цей пучок лежить в межах певного кута (кута паралельності), величина якого залежить від відстані між даною геодезичною і точкою, через яку проходять паралельні їй геодезичні.

Вже засновники неевклідової геометрії Н.І.Лобачевський та К.Гаусс ставили питання про характер геометрії нашого реального простору і навіть намагалися визначити її вимірюванням кутів певного трикутника (Гаусс - між трьома точками на земній поверхні, Лобачевський - в трику­тнику, що утворюється діаметром земної орбіти та напрямками на Сіріус з двох протилежних точок цієї орбіти). Звичайно, що вони не змогли одержати певного результату, бо в малому геометрія будь якого простору практично евклідова, в нинішньому ж нашому Всесвіті, як виявилося, розмір такої малої області значно перевершує розміри галактик. Про можливий зв’язок геометрії простору з матерією, що в ньому знаходиться і рухається, писав ще в 1885 р. англійський математик В.Кліффорд.

У виразі (2.2) привертає до себе увагу наявність в ньому верхніх та нижніх індексів. Їх поява викликана тим, що в криволінійній системі координат доводиться розрізняти дві можливі форми завдання вектора як сукупності в N -вимірному просторі N скалярних величин - коваріантну та контраваріантну. За визначенням контраваріантним вектором Ai зветься вектор, компоненти якого при переході від однієї системи координат Xk до іншої Xi перетворюються як диференціали координат

(2.3)

(2.4)

і i dx' j k

dx =—- dx , dx'k

тобто

Коваріантний вектор Ai - це такий вектор, що перетворюється за законом:

(2.5)

тобто так, як перетворюється градієнт скалярної функції

(2.6)

дщ dx'k дщ

dx1 dxг dx'k '

З геометричної точки зору появу цих двох типів векторів (а, точніше кажучи, двох форм однієї і тієї ж векторної величини) можна пояснити таким чином.

В нескінченно малому околі якоїсь точки криволінійну систему координат можна замінити прямолінійною, але косоукутньою системою (рис. 2.2). А в такій системі координат вектор можна задавати лінійною комбінацією ортів системи e1 та e2, тобто в двомимірному випадку A = A1e1 + A2e2, при цьому коефіцієнти A1 та A2 і є компонентами вектора A. Іншій спосіб - це задати вектор A його проекціями на осі координат A1 та A2. З рис. 2.2 випливає, що

A1 = A1 + cosa- A2, A2 = cosa- A1 + A2. (2.7)

Це можна записати інакше:

Ar = gkAk, (2..8)

де в даному випадку

f 1 cosa)

gsk =

(2.9)

v cosa 1

при цьому, як не важко перевірити, квадрат довжини вектора A є AiAl. В загальному випадку величина А дорівнює ортогональній проекції вектора, поділеній на величину g11 (див. [14]). В плоскому часі-просторі

Мінковського з псевдоевклідовою метрикою в декапртовій системі координат, яку в цьому випадку завжди можна ввести, g00=1, gaa=-1, gik=0 при i,k/0. При цьому просторові коваріантні та контраваріантні компоненти вектора відрізняються тільки своїми знаками. Тут і далі грецькі індекси пробігають значення 1,2,3, тобто відповідні величини відносяться тільки до прсторової частини метрики простору-часу.

В записах (2.2) - (2.9) використане правило підсумовування Ейнштейна, яке має на увазі підсумовування по двом однаковим індексам, якщо один з них верхній, а другий - нижній. Узагальнена на випадок довільної системи координат формула (2.8) виражає так зване правило опускання (або піднімання) індексів, тобто правило переходу від однієї форми задання векторів до іншої. Це правило поширюється і на тензорні величини, які також можуть бути коваріантними (Aik) та контраваріантними (Aik), а також змішаними (A1k).

При цьому, наприклад,

Aik = gu4 (2.10)

або

Ak = gklAU. (2.11)

Тензори gtl та gkI - взаємно-обернені, тобто gagkl =Sk - одиничному тензорові. Зауважимо також, що метричний тензор gik, є симетричним, що випливає з дії комутативного закону для множення в (2.2). Поряд з операцією піднімання чи опусканням індексів можлива операція згортання за певним індексом:

A = A = gikAik = g kA ik. (2.12)

Очевидно, що скаляр А - це слід тензора Aik в його змішаній формі. Викривленість простору-часу (під впливом будь-якої фізичної форми матерії, що рухається в ньому) призводить до певних ускладнень при диференціюванні векторів та тензорів як функцій координат. Щоб одержати похідну, треба спочатку знайти різницю значень диференційованої функції в двох близьких точках. Якщо ця функція - вектор, то потрібно для цього перенести початок цього вектора з однієї точки до іншої, близької до першої. Якщо обчислюється частинна похідна за певною координатою xi, то це повинно бути паралельне перенесення вздовж відповідної координатної лінії, яка є кривою. Тому при такому переносі компоненти вектора змінюються. Паралельність переносу означає зберігання кута між вектором і координатною лінією, вздовж якої він переноситься. Оскільки перенесення робиться між нескінченно близькими точками, то вплив цієї зміни на значення диференціалів компонент вектора можна вважати лінійним не тільки за значеннями компонент вектора, але і значеннями диференціалів координат. Тому диференціал контраваріантного вектора Ai в криволінійній системі координат треба записати в такому вигляді:

PiAi

DA1 =--—dxk +rklAldxk. (2.13)

dx

А поділивши (2.13) на dxk, одержимо коваріантну похідну

Aik = Щ- + Г kiAl. (2.14)

;k dxk v 7

Для коваріантного вектора Ai така похідна дорівнює:

A,k =dA-rkAi. (2.15)

Сукупність коефіцієнтів Г1к1 не утворює тензора третього рангу. Ці коефіцієнти мають назву символів Кристофеля або коефіцієнтів зв'язності. Формули (2.14) та (2.15) узагальнюються на випадок тензорів, зокрема, таким чином:

PAi

Aii =dxr-rkX +KA. (2.16)

Якщо порівняти два вирази: DA1 = gkDAk та DA1 = D(gkAk), то дійдемо до висновку, що gk;l = 0. А застосовуючи до величин gik;l загальну формулу (2.16), одержимо, що

g,u =%- - gmk Гm - g,,,K • (2.17)

dx

Зробивши нарешті в (2.17) циклічну перестановку індексів і взявши півсуму одержаних трьох рівностей, матимемо (з урахуванням симетрії Гk =rki), що

Г = 1 gim dSmk + dSml + dSkl ^ (2 18)

kl~ 2 ( dxl dxk dxm J K ' ’

З виразів (2.14) та (2.18) випливає і рівність (2.15).

Поява символів Кристофеля пов’язана з криволінійним недекартовим характером системи координат. Втім завжди можна обрати таку систему координат, що в даній точці всі символи Кристофеля дорівнюватимуть 0. Крім того нелінійність формули (2.18) приводить до того, що символи Кристофеля мають тензорний характер лише при лінійних перетворюваннях координат, а у випадку довільних перетворювань це не має місця.

Тому бажано мати міру саме викривленості часу-простору, яка б до того ж мала тензорний характер. Такою мірою є тензор кривизни Рімана- Кристофеля. Ввести його можна в такий спосіб. Чим більше викривленість простору, тим більше буде зміна вектора при його паралельному переносі вздовж замкненого контуру, який обмежує поверхню певної площі. Справді, поворот вектора при обході меж октантів двох сфер різних радіусів однаковий і дорівнює 90° (рис. 2.3). Однак площа октанта сфери меншого радіусу менша, тобто в розрахунку на одиницю площі поворот вектора буде більший у відповідності з більшою кривизною цієї сфери. Зміна вектора при обході довільного замкненого контуру L дорівнюватиме:

AAt =jn,A,dx' . (2.19)

L

Перейдемо в (2.19) від криволінійного інтегралу до поверхневого по поверхні S, що обмежена контуром L, за допомогою теореми Стокса. При цьому ротор вектора A1 будемо обчислювати за формулою (2.15) з

урахуванням того, що в малому околі будь-якої точки DAi / dxm =TimnAn. Зменшуючи потім необмежено контур L та поверхню S, одержимо, враховуючи, що при цьому величина DAk = 0,:

AAt = 2 RLAiASlm. (2.20)

Тензор четвертого рангу R1klm і є відшукуваною тензорною мірою викривленості часу-простору в точці, до якої стягується контур L. Він дорівнює:

i7l i7l

i km kl i n i m

Rklm = ^l ^ m +LnlГ km ^nmГЫ ' (2.21)

drkm _дК

dxl dxm

З огляду на (2.18) компоненти тензора кривизни містять лінійно другі похідні від компонент метричного тензора та добутки їх перших похідних. Якщо тензор Rklm згорнути за індексами i та l, то одержимо тензор кривизни другого рангу (тензор Річчі):

дГl дГ1

R = km kl і г l Г n Г l Г m (2 2 2)

km dxl dx^ kn nm kl * \£,££)

Нарешті, згортаючи (2.22) за індексами k i m матимемо скалярну кривизну

R = gkmRkm, (2.23)

яка певним чином узагальнює гауссову кривизну К. Всі компоненти тензору Ri1llm дорівнюють 0 тільки в плоскому просторі-часі. Якщо від

(2.21) перейти до повністю коваріантного тензора кривизни Rklm, то можна

klm

побачити, що останній антисиметричний за кожною з пар індексів ik та Im і симетричний по відношенню до перестановки місцями цих пар індексів. Тензор Річчі симетричний, як це випливає з (2.22). Крім того тензор R задовольняє диференціальній рівності, яка має назву тотожності Біанкі:

(2.24)

'ikl;t

+Ku + RL,k = 0

Тотожність Біанкі безпосередньо випливає з формули коваріантного диференціювання тензорів в локально-геодезичній системі координат. Це саме така система, яку можна ввести в околі будь-якої точки так, що в цій точці всі величини Vkl обертаються на 0. Можливість цього, в свою чергу, випливає з тензорного характеру символів Кристофеля по відношенню до лінійних перетворень координат. А оскільки тотожність Біанкі є скалярною, то вона повинна зберігатися і в довільній системі координат.

(2.25)

Вище були розглянуті математичні відомості, мінімально необхідні для розуміння ЗТВ. Для більш докладного з цим ознайомлення можна звернутися до книг [2,8,9]. Ми ж перейдемо до розгляду основного рівняння ЗТВ. Виходячи з основної фізичної ідеї ЗТВ, це рівняння повинно зв’язувати характеристики метрики простору-часу - тензори gik та Rik з розподілом та рухом гравітуючих мас, які знаходяться в ньому. Ці розподіл та рух описуються, як відомо вже із СТВ, тензором енергії-імпульсу, зміст компонент якого краще з’ясовується в контраваріантній його формі:

T^k

S rr 1 " 2 3
wL c c c
c

Wi

P11 P12 P13
c

Щ

P21 P22 P23
V c P31 P32 P33

де часова компонента T00 - це густина енергії s. Змішані компоненти T утворюють вектор W /c, де W - вектор потоку енергії (вектор Умова- Пойнтінга), c - швидкість світла у вакуумі. Нарешті, просторова частина Tав збігається з тензором напружень, тобто діагональні її компоненти - це тиск вздовж відповідної координатної осі, а недіагональні компоненти - це зсувні напруження в площині, що перпендикулярна осі a, в напрямку осі p. Поняття тензору енергії-імпульсу має на увазі опис матеріальних об’єктів як неперервних (суцільні середовища, фізичні поля). Для опису дискретних систем треба користуватися узагальненими функціями,

0a

найпростішим і найвідомішим представником яких є 5 - функція Дірака, яка описує матеріальну точку. Для замкненої системи має місце рівність 0 коваріантної дивергенції тензора енергії-імпульсу:

T(t = 0. (2.26)

Часова компонента (2.26) виражає закон збереження енергії, а сукупність просторових - закон збереження моменту імпульсу.

Оскільки ньютонівська теоря тяжіння є граничним випадком ЗТВ, то одна з компонент основного рівняння ЗТВ у випадку слабкого гравітаційного поля (якщо його потенціал Y

<< | >>
Источник: Александров Ю.В.. Основи релятивістської космології. 2001

Еще по теме Основи загальної теорії відносності (ЗТВ).:

  1. § 2. Предмет загальної теорії держави і права
  2. § 2. Предмет загальної теорії держави і права
  3. § 3. Місце загальної теорії держави і права в системі юридичних та інших суспільних наук
  4. § 1. Виникнення загальної теорії держави і права
  5. ПРЕДМЕТ І МЕТОД ЗАГАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ДЕРЖАВИ І ПРАВА
  6. Становлення та еволюція вчення про юридичну аргументацію: від стародавніх філософських шкіл до складової загальної теорії права
  7. Розділ І | ПРЕДМЕТ І МЕТОД ЗАГ ПРЕДМЕТ І МЕТОД ЗАГАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ДЕРЖАВИ І ПРАВА
  8. БУЛГАКОВ А,А,. ЗАГАЛЬНІ ОСНОВИ ЕКОНОМІЧНОГО РОЗВИТКУ. ОСНОВИ МІКРОЕКОНОМІКИ, 0000
  9. Розділ VІ. Логічні основи теорії аргументації
  10. Розділ 6. Логічні основи теорії аргументації