<<
>>

Загальний розв’язок рівнянь ЗТВ для однорідного та ізотропного світу.

2.6.

2.7. Як вже зазначалося в п. 1.4 зараз є достатні спостережні підстави виходити при побудові космологічної моделі нашого Всесвіту з

довершеного космологічного принципу, тобто з припущення про його однорідність та ізотропність в просторі та однорідність в часі.

І перше питання, яке постає при побудові такої моделі на базі ЗТВ, - це те, які обмеження накладає згаданий принцип на метрику простору-часу, який вигляд повинен мати в цьому випадку метричний тензор?

Однорідність в просторі означає, що можна обрати таку систему відліку часу, що просторова частина метрики буде однаковою в усьому просторі. Звідси випливає, що просторова частина тензору кривизни Raes

повинна залежати тільки від самих просторових компонент метричного тензору, але не від їх похідних. А ізотропність простору та властивості симетрії тензору кривизни, сформульовані вище, однозначно приводять до такого її вигляду:

(2.34)

R

(2.35)

де X- певний скаляр розмірності оберненого квадрату довжини.

Тепер не дуже складні підрахунки показуюють, що тензор Річчі

Ra/3 = RY = 2^ga/3,

а прсторова частина скалярної кривизни R = Ra=-6X. Таким чином ми приходимо до висновку, що простір однорідного та ізотропного світу повинен бути простором постійної кривизни, хоча і довільного знаку. Для запису метрики цього простору зручно скористуватися таким прйомом - розглянемо цей тривимірний простір як гіперповерхню в деякому уявному чотиривимірному просторі (який не треба плутати з чотиривимірним простором-часом). Нехай координати точки в цьому 4-просторі x{ (i = 1,2,3,4). Тоді рівняння поверхні постійної кривизни є таке:

xf + x22 + x32 + x42 = ka2, (2.36)

де a - радіус кривизни, а множник k = sign(A) фіксує знак кривизни, він має

одне із значень: -1; 0; +1.

Якщо k = +1, то (2.36) очевидне, як узагальнення рівняння сфери. При k = 0 маємо гіперплощину, як граничний випадок сфери при a ^ ю. При k = -1 одержуємо тривимірну псевдосферу з постійною від’ємною кривизною і уявним радіусом кривизни іа, бо а2=1/Х. Але елемент довжини на цій гіперповерхні в будь-якому випадку дорівнює

dl = dxx + dx2 + dx3 + dxA. (2.3 7)

Виключаючи тепер dx4 з (2.37) за допомогою диференціювання (2.36), одержимо, що

„2 ,2 і 2 і 2 (x,dx, + x2dx2 + x3dx3)2 /0 2!04

dl = dx2 + dx2 + dx: + ——1—2 2 3 У . (2.38)

1 2 3 ka1 - x2 - x22 - x32 V 7

Тепер можна записати величини gap і, підставляючи їх в (2.34),

пересвідчитися в тому, що стала A = k / a2. Але в ізотропному просторі природньо перейти до сферичних координат r,p,0. Тоді матимемо, що

dr2

dl2 =------------------------------------------------------------------------------------- + r2 (sin2 Gdp2 + dO2).---------------------------------------- (2.39)

r

1 -k- a

Неважко переконатися, що в просторі з додатньою кривизною довжина кола 2nr, а площа сфери 4nr2. Однак відстань від їх центру до точки із заданою координатою r дорівнює

f , dr = a arcsinr, (2.40)

JW1 - r2/ a2 a

тобто більша від r.

Повертаючись до метрики простору-часу, запишемо її тепер в такому вигляді:

dr2

-2^2_________

r2 1 -k- a

ds2 = c2dt2-------- — -r2(sin2 Odp2 + dO2). (2.41)

cdt = adn, - = 2 (x)

(2.42)

Бачимо, що ця метрика визначається одним параметром a, який в загальному випадку має назву масштабного фактору.

Його зміна з часом, тобто залежнвсть a(t), і описує еволюцію метричних властивостей однорідного та ізотропного світу. Доцільно, як це нерідко робиться, перейти до безрозмірних змінних. В даному разі це зручно зробити за допомогою таких замін: де

sin x; k = +1

2 (х) = x; k = 0

shx; k = -1.

а нова змінна x має зміст безрозмірної відстані.

Тоді матимемо такий вираз для інтервала:

ds2 = a2(n)^dn2 -dx2 -2 2(x)(sin2 Ѳdq?^ + dѲ2)J. (2.43)

Метрики (2.41) та (2.43) не є едино можливими. Інколи використовується така метрика:

ds2 = Cdt2 - dr/ + r/(sin2 Ѳ dqJ + dqJ ')

і 2 , 2/_;„2^ і 2 , і 2 \

4a2

kr 2 0

(1+-V)2

(2.44)

що одержується з (2.41) заміною

r

1+

r =

kr( 4a2

Оскільки чисельник в (2.44) в декартових координатах дорівнює dx12 + dx22 + dx32 , то ця форма метрика наочно підкреслює однорідний та ізотопний характер її просторової частини.

(2.45)

Метрика однорідного та ізотропного світу (в будь-якій формі) дістала назву метрики Робертсона-Уокера, хоча фактично її одержав ще в 1922 р. О.О.Фрідман. Ми далі використаємо цю метрику в формі (2.43), тобто будемо користуватися координатами n, Х,Ѳ,ф. Запишемо відповідний ій метричний тензор:

gik

ґ 2 а 0 0 0 ''
0 - а2 0 0
0 0 - а22 2(Х) 0
V 0 0 0 - а2 2 2(x)sin2 Ѳу

Для того, щоб остаточно знайти метрику однородного та изотропного світу, треба тепер знайти масштабній фактор а як функцію змінної n, яку називають параметром еволюції або конформним часом.

Для цього треба обчислити символи Кристофеля, а потім тензор Річчі з одного боку. З іншого боку потрібно встановити вигляд тензору енергії-імпульсу.

(2.46)

Якщо розглядаються явища достатньо великих розмірів, в яких вже не проявляється дискретність середовища, то, як відомо з СТВ, тензор енергії імпульсу такого середовища є (в змішаній формі):

Ttk = (P + s)CUk - pSk

де, нагадаємо, є - густина енергії, p - тиск, а U - 4-швидкість. В масштабах, більших від розміру комірок крупномасштабної структури

Всесвіту (> 10 Мпк) - там, де проявляється однорідність та ізотропність нашого Всесвіту, матерія повинна знаходитися в середньому в стані спокою. Бо будь-який рух є або наслідком певних неоднорідностей або приведе до них. Тому у вказаних масштабах 4-швидкість повинна мати вигляд: Ui = (1,0,0,0). А в цьому разі з (2.46) одержимо, що

Ti =

fs 0 0 0 Л
0 - P 0 0
0 0 -P 0
V 0 0 0 - P,

(2.47)

Досить кропіткі, але в принципі не складні обчислення величин Ttkl на підставі (2.18) та (2.45) дають такі результати:

Г00 = - ■ Гв = - 4 ga,; Г0в = -SJ; C = ra = 0, (2.48)

a a a

де a" - це похідна від a за конформним часом n. Обчислювати величини г°,

нема потреби, бо просторові компоненти тензора Річчі можуть бути знайдені з виразів (2.35) та (2.45). Обчислення тензора Річчі зручніше вести в змішаній формі. При цьому з рівняння Ейнштейна і діагональності тензорів g та T випливає і діагональній вигляд тензора кривизни.

Його діагональні компоненти дорівнюють:

3 1

R00 = ——(a’2 -aa");R0 = ---(2ka2 + a'2 + aa")5°0. (2.49)

a a

Тепер залишилося підставити (2.25), (2.47) та (2.49) в рівняння (2.29).

Часова компонента дасть рівняння

-^(a'2 -aa")=4 Vss-+pl (2.50)

a c V 3 J

Просторові компоненти дають однакові рівняння

Лх ~'2

Z-(2ka2 + a'2 + aa") = 4nG (s- p). (2.51)

4V 7 4

a c

Додаючи (2.51) до (2.50), виключаємо другу похідну a". Одержуємо рівняння

4(a'J + ka!) = П s, (2.52)

a 3c

Будь-яка пара рівнянь (2.50) - (2.52) містить три невідомі функції - а, є, та р. Ясно, що в ході еволюції Всесвіту із зміною масштабного фактора а будуть змінюватися середня густина енергії і тиск. При цьому характер цієї зміни повинен узгоджуватися із законами збереження. А самі ці закони збереження неявно містяться в рівняннях (2.50) - (2.52) в силу (2.26). Тому зв’язок між зміною масштабного фактора з одного боку і середньою густиною енргії та тиском з іншого можна знайти з циїх рівнянь. Але це можна зробити простіше, якщо скористуватися законом збереження енергії у вигляді першого начала термодинаміки:

dE=TdS-pdV, (2.53)

де E - повна енергія системи, T - її температура, S - ентропія, V - її об’єм. При постійній ентропії маємо, переходячи до густини енергії є = E / V, що

dV_

V'

йє є + p

(2.54)

Оскільки об’єм V scr, то кривизна додатня. І, як видно з

(7.60) , масштабний фактор є періодичною функцією параметру еволюції з періодом |3w+1|n/2. При цьому величина a змінюється від a0 до да та навпаки при w-1/3 - від 0 до a0 і навпаки. Якщо S=Scr, то k _ 0 (плоский випадок), значення n змінюється від 0 до 2/|3w+1| (w-1/3). Масштабний фактор змінюється, відповідно, від a0 до да або від 0 до да. При цьому похідна a' прямує до 0. Нарешті, при s

<< | >>
Источник: Александров Ю.В.. Основи релятивістської космології. 2001

Еще по теме Загальний розв’язок рівнянь ЗТВ для однорідного та ізотропного світу.:

  1. Глава 28. ПРЕДМЕТ ЗАГАЛЬНОГО ПОРІВНЯЛЬНОГО ПРАВОЗНАВСТВА. ПОНЯТТЯ ТИПУ І ТИПОЛОГІЇ ПРАВОВИХ СИСТЕМ СВІТУ
  2. § 4. Правова культура: зв'язок із загальною культурою. Види правової культури
  3. Основи загальної теорії відносності (ЗТВ).
  4. Правовий обов’язок та вщповщальність а) Правовий обов 'язок і санкція
  5. § 3. Юридичні колізії і способи їх розв'язання
  6. § 3. Соціальні суперечності економіки України та шляхи їх розв’язання
  7. § 3. Класифікація правових систем світу
  8. § 4. Основні типи і підтипи (групи} правових систем світу
  9. Обов ’язок виправлення
  10. 1. ПРИНЦИПОВА ВІДКРИТІСТЬ СВІТУ ЛЮДИНИ І СВОБОДА…
  11. б) Правовий обов ’язок і повинність