<<
>>

Раздел VIIІ. Теория чисел

Рассмотрим последнее задание, которое предстоит решить ученикам на ЕГЭ по математике. Данная задача является, пожалуй, самой сложной из всех предложенных в КИМах. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ.

Ответ должен быть полным.

Задача 1.

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного

Решение.

Пусть десятичная запись числа состоит из цифр.

Тогда по условию задачи можно записать равенство

, поэтому

Из этого уравнения следует, что .

Так как числа a и b взаимно простые, числа b – a? и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p – общий простой делитель этих чисел. Тогда, если p – делитель a, то p – делитель b. Если же p – делитель b, то p – делитель a?, значит, p – делитель a. Противоречие.) Поэтому b – a? = 1 и, следовательно, . Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:

1) , но в этом случае не выполняется равенство b – a? = 1.

2) . В этом случае равенство b – a? = 1 принимает вид

, откуда

Функция

возрастает, а функция

убывает. Поэтому уравнение f(n) = g(n) имеет не более одного корня, и так как f(1) = g(1), единственным корнем уравнения является n = 1.

Ответ. a = 2, b = 5.

<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме Раздел VIIІ. Теория чисел:

  1. 23.3. Методы шифрования на основе датчика псевдослучайных чисел
  2. Раздел № 3. Теория права.
  3. Раздел 2. ТЕОРИЯ ГОСУДАРСТВА
  4. Раздел 3. ТЕОРИЯ ПРАВА
  5. Раздел II. ТЕОРИЯ ГОСУДАРСТВА
  6. Раздел № 4. Теория правового поведения.
  7. Раздел III. Теория права
  8. Раздел IV. Теория правового поведения
  9. Раздел IV. Теория и жизненный мир
  10. Раздел III. ТЕОРИЯ ПРАВА
  11. Раздел II. Теория и практика: способы взаимодействия
  12. Таблица 9 - Расчет амортизации методом суммы чисел лет срока полезного использования
  13. РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА КАК НАУКА