9.2. Спектр сигналов угловой модуляции
Сигналы с угловой модуляцией, как и при AM, могут быть представлены в виде суммы гармонических колебаний. Сравнительно просто это можно сделать для тональной модуляции. При тональной модуляции спектры ФМ и ЧМ одинаковы, если mФМ = mЧМ = m, поэтому будем рассматривать только спектр ЧМ сигнала.
Преобразуем (9.8) по формуле косинуса суммы двух аргументов:
SЧМ(t) = Um∙cos(ω0t + m∙ sinΩt) = Um∙cos(ω0t)∙cos(m∙ sinΩt) -
- Um∙sin(ω0t)∙sin(m∙ sinΩt). (9.9)
Из теории бесселевых функций [2] известны следующие соотношения:
(9.10)
где Jk(m) – функция Бесселя k -го порядка от аргумента m. Подставляя (9.10) в (9.9), выполняя обычные алгебраические преобразования и раскрывая произведение тригонометрических функций, получаем:
(9.11)
Таким образом, спектр даже для однотональной угловой модуляции является довольно сложным.
В формуле (9.11) первый член – гармоническая составляющая с частотой несущей. Группа гармонических составляющих с частотами (ω0 + kΩ), k = 1, 2, …, определяет верхнюю боковую полосу частот, а группа составляющих с частотами (ω0 - kΩ), k = 1, 2, …, нижнюю боковую полосу частот.Число верхних и нижних гармоник боковых частот теоретически бесконечно.
Боковые гармонические колебания расположены симметрично относительно ω0 на расстоянии Ω. Амплитуды всех компонент спектра, в том числе и с частотой ω0, пропорциональны значениям функций Бесселя Jk(m).
Формулу (9.11) можно представить в более компактном виде. Действительно учитывая (-1)k Jk(m) = Jk(m), получаем:
.
(9.12)Для построения спектральных диаграмм необходимо знание функций Бесселя Jk(m) при различных значениях k и m. Эти сведения имеются в математических справочниках [3]. На рис. 9.3 приведены графики функций Бесселя при k = 0, 1, 2, …, 7. Значения функций Бесселя, отсутствующих на графиках, можно найти по рекуррентной формуле:
.
Рис. 9.3. График функций Бесселя
Пример. Задан модулированный сигнал S(t) = 10∙cos(2∙106t + 3∙cos104t). Построить спектральную диаграмму этого сигнала.
Из математического уравнения сигнала следует, что это однотональная угловая модуляция с индексом m = 3. Спектральные составляющие сигнала определяем из уравнения (9.11), приняв k = 0, 1, 2, 3,... , до тех пор, пока амплитуда составляющих не будет заданной, например меньше 2% от Um. По результатам расчетов построена спектральная диаграмма (рис. 9.4).
Рис. 9.4. Спектральная диаграмма сигналов с однотональной угловой модуляцией при m = 3
Анализ графиков функций Бесселя показывает, чем больше порядок k функции Бесселя, тем при больших аргументах m наблюдается ее максимум, однако при k > m значения функций Бесселя оказываются малой величиной. Следовательно, малыми будут и соответствующие составляющие спектра; ими можно пренебречь. Поэтому ширину спектра сигналов с угловой модуляцией можно приближенно определить по формуле:
ΔωУМ ≈ 2(m + 1)Ω, (9.13)
где Ω – частота модулирующего сигнала. Для передачи модулированного сигнала с высокой точностью иногда считают, что надо учитывать спектральные составляющие с уровнем не менее 1% от уровня несущей. Тогда ширина спектра с угловой модуляцией ΔωУМ ≈ 2(m + m1/2 + 1)Ω [21, 32, 39].
Если m < 0,6, то ширина спектра угловой модуляции соизмерима с шириной спектра амплитудной модуляции. Если m >> 1 то при угловой модуляция из (9.13) и (9.7) следует, что ширина полосы частот примерно равна удвоенной девиации частоты.
Еще по теме 9.2. Спектр сигналов угловой модуляции:
- 9.4. Формирование и детектирование сигналов угловой модуляции
- 9.1. Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции
- 4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
- 9.3. Формирование и детектирование сигналов амплитудной и однополосной амплитудной модуляции
- 4.2. Спектр дискретизированного сигнала
- 8.2. Амплитудная модуляция гармонического колебания
- Значения тригонометрических функций для некоторых углов
- 7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром
- Анализатор спектра
- Формулы для кратных углов
- 5.2. Стабилизаторы напряжения с широтно-импульсной модуляцией
- 4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
- 5. СПЕКТР ЭТИЧЕСКИХ НОРМ, СОЗДАВАЕМЫХ ГРУППОВЫМ ОТБОРОМ
- 4.3. Спектр сигнала дискретизированного импульсами конечной длительности (амплитудно-импульсно модулированный (АИМ) сигнал)