3.5. Метод анализа иерархий

Оценку вариантов решений методом анализа иерархий покажем на иллюстративном примере «Переправа через реку».

1. Требуется определить: оставить на реке паромную переправу или вместо нее построить мост или туннель.

2. Возможные решения оцениваются по трем критериям: экономическому, социальному и экологическому. Каждый критерий оценивается по критериям низкого уровня.

3. Структурный граф процесса принятия решения с указанием уровня иерархий и оценками «+» и «–», указывающими, способствует или препятствует данный фактор решению задачи, показан на рис. 1 Возможные варианты решений определены в постановке задачи.

4. Значения критериев первого уровня показаны в табл. 3.4 и 3.5.

Таблица 3.4

Таблица 3.5

Не будем обсуждать, каким образом получены значения «весов» критериев.

Таблица 3.6

Таблица 3.7

Таблица 3.8

Необходимо сопоставить предпочтения ЛПР на последнем уровне.

Обозначим все пути, в частности, дуги lij через p(lij).

(3.8)

Для таблицы 3.4 mA(AB1) = 1, mA(AB2) = 0,75, mA(AB3) = 0,25. Система поддержки принятия решений находит p(АВ1) = 0,5, p(АВ2) = 0,36, p(АВ3) = 0,13.

Определение веса критерия, когда производится попарное сравнение весов (значимости) различных критериев, так, как это сделано в табл. 3.2, 3.6, 3.3. Сложность заключается в несогласованности оценок. Самым точным методом является нахождение главного собственного вектора матрицы, который после нормализации становится вектором приоритетов. Рассмотрим более простой метод. Представим количественные сравнения пар объектов матрицей А = (аij), (i, j =1, 2,….., n), где аij показывает оценку отношения между i-м и j-м объектами. Элементы матрицы обладают следующими свойствами: если аij = b, то аji = 1/b, aii = 1. Суммируем элементы каждой строки и нормализуем делением каждой суммы на сумму элементов. Сумма полученных результатов будет равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет весом приоритета первого объекта, второй – второго и т.д., так, как это показано в табл. 3.10, при использовании табл. 3.5 и значений лингвистических переменных табл. 3.11.

Рис. 3.3. Схематическое представление задачи о переправе через реку

Таблица 3.9

Продолжение табл. 3.9

Окончание табл. 3.9

Таблица 3.10

Таблица 3.11

Окончание табл.

p(АВ1) = 0,53, p(АВ2) = 0,31, p(АВ3) = 0,15.

Аналогично СППР находит веса приоритетов второго уровня. p(В1С1) = 0,38, p(В1С2) = 0,38, p(B1C3) = 0,19; p(В1C4) = 0,5, p(B2C5) = 0,61, p(В2C6) = 0,19, p(В2C7) = 0,20, p(В3C8) = 0,8, p(В3C9) = 0,2.

Таблица 3.12

Таблица 3.13

Таблица 3.14

Таблица 3.15

Таблица 3.16

Веса приоритетов второго уровня в графе являются уточнением влияния соответствующих факторов на принятие решения.

p(l1i, lij) = p(l1i) ´ p(lij),

где l1i – дуга первого уровня, lij – дуга второго уровня (i = 1,…, n), (j = 1,…, m).

Аналогично рассчитываются веса дуг следующих уровней:

p(AB1C1) = p(AB1) ? p(B1C1) = 0,53 ? 0,38 = 0,0;

p(AB1C2) = p(AB1) ? p(B1C2) = 0,53 ? 0,38 = 0,20;

p(AB1C3) = p(AB1) ? p(B1C3) = 0,53 ? 0,19 = 0,10;

p(AB1C4) = p(AB1) ? p(B1C4) = 0,53 ? 0,05 = 0,03;

p(AB2C5) = p(AB2) ? p(B2C5) = 0,31 ? 0,61 = 0,19;

p(AB2C6) = p(AB2) ? p(B2C6) = 0,31 ? 0,19 = 0,06;

p(AB2C7) = p(AB2) ? p(B2C7) = 0,31 ? 0,21 = 0,07;

p(AB3C8) = p(AB3) ? p(B3C8) = 0,15 ? 0,8 = 0,12;

p(AB3C9) = p(AB3) ? p(B3C9) = 0,15 ? 0,2 = 0,03.

Оценка решений есть результат умножения матрицы весов дуг последнего уровня на вектор весов приоритетов вершин предпоследнего уровня графа.

=,

где p(lij) – вес дуги, связывающей вершину i с вершиной последующего уровня j, p(l1r, lrj) – вес дуги, оканчивающейся в j-ой вершине предпоследнего уровня графа, фактически вес дуги в графе, начинающийся с исходной вершины и кончающийся в j-ой вершине предпоследнего уровня. c(Dp) – вес p-ой конечной вершины (p-го варианта решения).

Если эксперту удалось свести задачу выбора лучшего решения к иерархической, то можно использовать описанный метод.