3.3. Треугольные нечеткие числа

Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество Т1={U приблизительно равно а}. Ясно, что а ± d » а, причем по мере убывания d до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы.

Рис. 3.2. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа

Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего в качестве прогнозных значений параметра.

Операции над нечеткими числами. Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) – вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a1, a2] и [b1, b2] соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами – границами интервалов:

– операция «сложение»:

[a1, a2] (+) [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2], (3.2)

– операция «вычитание»:

[a1, a2] (–) [b1, b2] = [a1 – b2, a2 – b1], (3.3)

– операция «умножение»:

[a1, a2] (´) [b1, b2] = [a1 ´ b1, a2 ´ b2], (3.4)

– операция «деление»:

[a1, a2] (/) [b1, b2] = [a1 / b2, a2 / b1], (3.5)

– операция «возведение в степень»:

[a1, a2] (^) i = [a1i, a2i]. (3.6)

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

– действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

– сумма треугольных чисел есть треугольное число;

– треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

– сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

– сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это позволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности. Иными словами, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

(a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) º (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2). (3.7)

Это самое распространенное правило мягких вычислений.